El papiro Rhind

En 1858 el egiptólogo escocés A. Henry Rhind visitó Egipto por motivos de salud (padecía tuberculosis) y compró en Luxor el papiro que actualmente se conoce como papiro Rhind o de Ahmes, encontrado en las ruinas de un antiguo edificio de Tebas. Rhind murió 5 años después de la compra y el papiro fue a parar al Museo Británico. Desgraciadamente en esa época gran parte del papiro se había perdido, aunque 50 años después se encontraron muchos fragmentos en los almacenes de la Sociedad histórica de Nueva York. Actualmente se encuentra en el Museo Británico de Londres. Comienza con la frase “Cálculo exacto para entrar en conocimiento de todas las cosas existentes y de todos los oscuros secretos y misterios”

Papiro Rhind, detalle

Papiro Rhind, detalle

El papiro mide unos 6 metros de largo y 33 cm de ancho. Representa la mejor fuente de información sobre matemática egipcia que se conoce. Escrito en hierático, consta de 87 problemas y su resolución. Nos da información sobre cuestiones aritméticas básicas, fracciones, cálculo de áreas, volúmenes, progresiones, repartos proporcionales, reglas de tres, ecuaciones lineales y  trigonometría básica. Fue escrito por el escriba Ahmes aproximadamente en el año 1650 a.C a partir de escritos de 200 años de antigüedad, según reivindica el propio Ahmes al principio del texto, aunque nos resulta imposible saber qué partes corresponden a estos textos anteriores y cuáles no.

Se conoce muy poco sobre el objetivo del papiro. Se ha indicado que podría ser un documento con claras intenciones pedagógicas, o un cuaderno de notas de un alumno. Para nosotros representa una guía de las matemáticas del Antiguo Egipto, pues es el mejor texto escrito en el que se revelan los conocimientos matemáticos. En el papiro aparecen algunos errores, importantes en algunos casos, que pueden deberse al hecho de haber sido copiados de textos anteriores. Aunque en la resolución de los problemas aparecen métodos de cálculo basados en prueba y error, sin formulación y muchas veces tomados de las propias experiencias de los escribas, representa una fuente de información valiosísima. En cuanto al autor, poco se conoce de él. Por su escritura parece que Ahmes no era un simple escriba, pero se desconocen los detalles de su educación.

A continuación doy la resolución de algunos de los problemas del papiro, tal y como aparecen en el original.

El contenido del papiro Rhind, publicado por Richard J. Gillins en “Mathematics in the Time of the Pharaohs” es el siguiente:

Problemas Descripción
1 –  6 Reparto de 1,2,6,7,8 y 9 barras entre 10 hombres
7 – 20 Multiplicación de fracciones
21 – 23 Sustracción
24 – 29 Búsqueda de números (28 y 29) y ecuaciones resueltas por “regula falsi” (24 a 27)
30 – 34 Ecuaciones lineales  más complicadas resueltas mediante divisiones.
35 – 38 Ecuaciones lineales  más complicadas resueltas mediante la regla de la falsa posición
39 – 40 Progresiones aritméticas
41 – 46 Volúmenes
47 Tabla de fracciones de 1 hekat en fracciones ojo de Horus
48 – 55 Áreas de triángulos, rectángulos, trapecios y círculos
56 – 60 Pendientes, alturas y bases de pirámides
60 – 61B Tabla de una regla para encontrar 2/3 de impares y fracciones unitarias
62 Peso de metales preciosos
63 Repartos proporcionales
64 Progresión aritmética
65 División proporcional de granos en grupos de hombres
69 – 78 Intercambios, proporción inversa, cálculos de “pesu”
79 Progresión geométrica
80 – 81 Tablas de fracciones ojo de Horus de grano en términos de hinu
82 – 84 Problemas, no claros, sobre cantidades de comida de gansos, pájaros y bueyes
85 Escritura enigmática. En el papiro aparece al revés.
86 – 87 Memorando de ciertas cuentas e incidentes, gran parte perdida.

Antes de proponer el primer problema Ahmes da una tabla de descomposición de n/10 para n = 1,…,9, para facilitar los cálculos de los siguientes problemas y otra en la que se expresan todas las fracciones de numerador 2 y denominador impar entre 5 y 101 como suma de fracciones unitarias. Estas tablas son las siguientes:

Tabla 2/n

5 3,15 53 30,318,795
7 4,28 55 30,330
9 6,18 57 38,114
11 6,66 59 36,236,531
13 8,52,104 61 40,244,488,610
15 10,30 63 42,126
17 12,51,68 65 39,195
19 12,76,114 67 40,335,536
21 14,42 69 46,138
23 12,276 71 40,568,710
25 15,75 73
60,219,292,365 
27 18,54 75 50,150
29 24,58,174,232 77 44,308
31 20,124,155 79 60,237,316,790
33 22,66 81 54,162
35 30,42 83 60,332,415,498
37 24,111,296 85 51,255
39 26,78 87 58,174
41 24,246,328 89 60,356,534,890
43 42,86,129,301 91 70,130
45 30,90 93 62,186
47 30,141,470 95 60,380,570
49 28,196 97 56,679,776
51 34,102 99 66,198
101 101,202,303,606

Tabla 1/10

1/ 10  1/10
2/10 1/5
3/10 1/5 + 1/10
4/10 1/3 + 1/15
5/10 1/2
6/10 1/2 + 1/10
7/10 2/3 + 1/30
8/10 2/3 + 1/10 + 1/30
9/10 2/3 + 1/5 + 1/30

Problemas 1 a 6

Los problemas 1 a 6 se refieren a repartos  de 1, 2, 6, 7, 8 y 9 hogazas de pan entre 10 hombres, aplicando descomposiciones en fracciones unitarias y 2/3. En ellos el escriba da el resultado y se limita a comprobar que la solución es la correcta. Nos llama la atención la forma en la que Ahmes comprueba el resultado para el caso de n=1, el problema 1. Esta es la resolución:

Cada hombre recibe 1/10 de hogaza
Multiplica 1/10 por 10
hazlo de esta forma

1———-1/10
2———-1/5
4———-1/3 1/15
8———-2/3 1/10 1/30

En efecto siguiendo el método de multiplicación hace 8 + 2 = 10 —-> 1/5 + 2/3 + 1/10 + 1/30 = 1 luego la solución es correcta, pues 10 * 1/10 = 1.

Vemos que Ahmes parece complicarse un poco la vida con este tipo de demostraciones y la multiplicación por 10, pero debemos tener en cuenta que los egipcios no manejaban los conceptos aritméticos tal y como podemos hacerlo ahora que nuestra instrucción es superior. Efectivamente, aunque nos parezca una comprobación innecesaria, es lo que se enseñaba a los niños de hace 4000 años.

Problema 3. Repartir 6 barras de pan entre 10 hombres.

Aquí Ahmes da como resultado 1/2 + 1/10 y así lo escribió:

1 ——-> 1/ 1/10
*2 ——-> 1 1/5
4 ——-> 2 1/3 1/15
*8 ——-> 4 2/3 1/10 1/30

10 ——–> 6  luego el resultado es correcto.

Problema 6. Repartir 9 barras de pan entre 10 hombres.

En este caso Ahmes sólo da la solución al problema, afirmando que el resultado es 2/3 + 1/5 + 1/30  y verificando que al multiplicar el resultado anterior por 10 se obtiene 9.

Problemas 7 a 20

Son problemas referidos a multiplicaciones de números expresados mediante fracciones unitarias. Damos aquí los problemas 9 y 14, con multiplicación directa y empleo de los números rojos.

Problema 9: Multiplica 1/2 + 1/14 por 1+1/2+1/4

Reproducimos este problema porque en él aparece aplicada la propiedad distributiva del producto respecto de la suma. El escriba multiplica 1/2 + 1/14 por cada uno de los multiplicandos y luego suma los resultados.

1———– 1/2 + 1/14
1/2———1/4 + 1/28
1/4———1/8 + 1/56

1 1/2 1/4 —- 1/2 1/4 1/8 1/14 1/28 1/56

y suma los resultados parciales obteniendo como producto 1. El método empleado es sumar primero 1/14 1/28 1/56 (= 1/8). La suma queda reducida ahora a 1/2 1/4 1/8 1/8 y después realiza sumas equivalentes para poder aplicar el método de reducción

1/ 1/4 1/8 1/8 = 1/2 1/4 1/4 = 1/2 1/2 = 1

Problema 14: Debe multiplicarse 1/28 por (1 + 1/2 + 1/4). En este problema el escriba hace uso de los números rojos, explicados anteriormente. El inicio de la solución emplea el mismo método anterior

1———-1/28
1/2——-1/56
1/4——-1/128

y ahora en lugar de proceder como en el caso anterior selecciona el “número rojo” 28, de forma que al aplicarlo a las fracciones de la derecha pueda obtener fracciones sencillas. El razonamiento es el siguiente:

1/28 partes de 28 es 1
1/56 partes de 28 es 1/2
1/128 partes de 28 es 1/4

y ahora debemos determinar cuantas partes de 28 son iguales a 1 + 1/2 + 1/4, es decir hemos de buscar un número tal que al multiplicarlo por 1 + 1/2 + 1/4 nos de 28. Ahora nos encontramos con una solución bastante sencilla, en otros casos no es tan obvia. El razonamiento es:

1 ————- 1 + 1/2 + 1/4
2 ————- 3 + 1/2
4 ————- 7
8 ————-14
16 ———– 28

Luego el número buscado en este caso es el 16. Esto significa que la solución del problema es 16.

¿El alumno, e incluso el escriba comprendían lo que estaban haciendo, o se limitaban a aplicar lo que les habían enseñado, cambiando los números según las necesidades? Es difícil responder, pero quizás el “profesor” pudiese ver más allá, y comprender el procedimiento, pero si fuese así lógicamente el método de la multiplicación lo debía tener totalmente asumido y en ese caso deberían haber encontrado una forma más sencilla de resolver este tipo de problemas.

Problema 13. Multiplica 1/16 + 1/112 por 1 + 1/2 + 1/4

En este problema se da el resultado 1/8.

Problemas 21 a 23

Los problemas 21, 22 y 23 son de sustracciones de fracciones y los 3 se resuelven mediante el uso de los números rojos.

Problema 21: Averigua la cantidad que falta a 2/3 + 1/15 para obtener la unidad.

Ahmes toma como número rojo el 15 (buscando la simplificación) y aplica:

2/3 de 15 = 10

1/15 de 15 = 1

Entonces ahora tenemos que 2/3 de 15 + 1/15 de 15 es 11. Como 15, el número rojo, supera a 10 en 4 unidades, hemos de calcular el número de partes de 15 que da un total de 4, es decir 4/15.

1 15
1/10 1 1/2
1/5 3
1/15 1

como 4 (el dividendo) = 3 + 1 –> 4/15 = 1/5 + 1/15

Problema 22. Averigua la cantidad que falta a 2/3 + 1/30 para obtener 1

En este caso se toma como número rojo el 30. Según “la teoría de los números rojos” se aplica el razonamiento: 2/3 + 1/30 de 30 es 21. Como 30 supera a 21 en 9 unidades debemos determinar el número de partes de 30 que dan un total de 9, es decir debemos dividir 9 entre 30. Siguiendo el procedimiento habitual para la división obtenemos:

1 30
1/10  3
1/5  6

entonces 6+3 = 9 -> 9/30 = 1/10 + 1/5 que es la solución buscada.

La solución no siempre es tan sencilla, y en ocasiones las operaciones se complican bastante.

Problema 23. Completa 1/4 + 1/8 + 1/10 + 1/30 + 1/45 hasta 2/3

En este caso Ahmes selecciona el 45 como número rojo, y aplica la misma teoría anterior.

1/4 de 45 es 11 + 1/4
1/8 de 45 es 5 + 1/2 + 1/8
1/10  de 45 es 4 + 1/2
1/30  de 45 es 1 + 1/2
1/45 de 45 es 1
2/3 de 45 es 30

Sumando ahora las cantidades correspondientes al enunciado obtenemos 1/4 + 1/8 + 1/10 + 1/30 + 1/45 = 23 + 1/2 + 1/4 + 1/8, es decir faltan 6 + 1/8 para llegar a 30 (el valor correspondiente a 2/3 con el número rojo 45). Ahora hemos de averiguar cuantas partes de 45 son 6 + 1/8, o lo que es lo mismo dividir 6 + 1/8 entre 45.

1 45
1/10 4 1/2
1/20 2 1/4
1/40 1 1/8
1/9 5

5 + 1 + 1/8 = 6 + 1/8 que es la cantidad buscada -> la solución es 1/9 + 1/40

A pesar de que aquí he puesto los cálculos directos, tal y como aparecen en el original, no debe pensarse que el escriba llegaba a estas conclusiones tan fácilmente, y posiblemente necesitase gran cantidad de operaciones intermedias que no aparecen reproducidas en el papiro.

Problemas 24 a 29

Se refieren a ecuaciones lineales de una incógnita. El método empleado para la resolución es el “regula falsi”, o regla de la falsa posición. El sistema consiste en calcular el valor buscado a partir de uno estimado previamente.

Problema 24. Una cantidad y 1/7 de la misma da un total de 19. ¿Cuál es la cantidad?

El problema se limita a resolver la ecuación x +x/7 = 19

Ahmes parte en este caso de un valor estimado de 7 y calcula  7 + 7/7 = 8. Entonces ahora para averiguar el valor real hay que encontrar un número N tal que al multiplicarlo por el resultado de aplicar el valor estimado nos de 19, es decir hay que dividir 19/8. El valor buscado entonces será 7*N

1 8
2 16
1/2 4
1/4 2
1/8 1

16 + 2 + 1 = 19 —> 19/8 = 2 + 1/4 + 1/8. Este es el valor a multiplicar por 7 para obtener la x buscada.

1 2+1/4+1/8
2 4+1/2+1/4
4 9+1/2

Entonces el valor buscado es 2 + 1/4 + 1/8 + 4 + 1/2 + 1/4 + 9 + 1/2 = 16 + 1/2 + 1/8

Problema 26. Una cantidad y su cuarto se convierten en 15, y se pide calcular la cantidad.

Para nosotros este problema se traduce en resolver la ecuación x + 1/4x = 15. Reproducimos los pasos del papiro, y más abajo la explicación de cada uno de ellos. Ahmes escribe:

1.- “Toma el 4 y entonces se obtiene 1/4 de él en 1, en total 5”

Ahmes parte en este caso de un valor estimado de x=4, el más sencillo para anular la fracción, y calcula  4+ 1/4 *4 = 5.

2.- “Divide entre 5 15 y obtienes 3”

Ahora para averiguar el valor real hay que encontrar un número N tal que al multiplicarlo por el resultado de aplicar el valor estimado nos de 15, es decir 5*N = 15, N=15/5 = 3

3.- “Multiplica 3 por 4 obteniendo 12”

El valor buscado es el resultado de multiplicar la N anterior por el valor estimado inicial, esto es 3 * 4 que es la cantidad buscada.

Ahmes sigue después: “cuyo (referido al 12 anterior) 1/4 es 3, en total 15”

Problemas 30 a 34

Se refieren a ecuaciones lineales más complicadas, resueltas mediante divisiones.

Problema 31. Literalmente dice: “Una cantidad, sus 2/3, su 1/2, su 1/7, su totalidad asciende a 33”

Para nosotros esto significa una ecuación 2x/3 + x/2 + x/7 + x = 33, x=cantidad

Ahmes resuelve el problema mediante complicadas operaciones de división.

Problemas 48 a 55

Estos 8 problemas se refieren al cálculo de áreas de triángulos, rectángulos, trapecios y círculos. Reproducimos el 51 y el 52 correspondientes a áreas de triángulos y los problemas 48 y 50 por ser unos de los más importantes del papiro, ya que es en estos en los que calcula el área del círculo.

Problema 48. Comparar el área de un círculo con la del cuadrado circunscrito.

 

Problema 48 - Papiro Rhind

Problema 48 – Papiro Rhind

Este problema tiene gran importancia por 2 razones. Por una parte representa el primer intento de una geometría basada en la utilización de figuras sencillas, cuyo área se conoce, para obtener el área de figuras más complicadas, y por otra parte puede ser la fuente del cálculo del área del círculo con un valor de  = 3.1605 que aparece en el problema 50.

La resolución es la siguiente:

El escriba considera un diámetro igual a 9 y calcula el área del círculo como la de un cuadrado de lado 8 (como hace en el problema 50). Obtiene así un valor de 64 setat.

Según se ve en la figura del problema, en el cuadrado de 9 jet de lado  se dividen los lados en tres partes iguales formando luego un octógono. Ahmes elimina los triángulos formados en los vértices del cuadrado. El área del octógono es A = 92 – 4 * (3*3) / 2 = 63. Quizá Ahmes pensó que el área del círculo circunscrito era algo mayor que la del octógono representado.

Problema 50. Calcular el área de un campo circular cuyo diámetro es 9 jet.

Aquí Ahmes se limita a calcular el área del círculo considerándolo igual a la de un cuadrado de lado 9. Dice: “resta al diámetro 1/9 del mismo, que es 1. La diferencia es 8. Ahora multiplica 8 veces 8, que da 64. Este es el área del círculo”

El escriba está empleando la siguiente fórmula A = (d-1/9d)2. Si comparamos esta fórmula con la real. A = ( *d2 )/4 se obtiene un valor para  = 256/81 = 3.1605 o como aparece en muchos sitios 4*(8/9)2. No se sabe como Ahmes llega a esta aproximación, y se ha considerado que quizás sea la resolución del problema 48 la que le lleva a estas conclusiones. Este mismo valor 4*(8/9) es empleado posteriormente para resolver un problema en el que se pide hallar el volumen de un cilindro de diámetro 9 y altura 6.

Problema 51. ¿Cuál es el área de un triángulo de lado 10 jet y base 4 jet?

Problema 51 - Papiro Rhind

Problema 51 – Papiro Rhind

Según está resuelto el problema, parece que el triángulo es isósceles y queda dividido en 2 partes iguales por la altura, con las que forma un rectángulo, siendo la altura lo que Ahmes llama lado. El escriba lo resuelve así: “Toma la mitad de 4 para formar un rectángulo. Multiplica 10 veces 2 y el resultado, 20, es el área buscada“.

Problema 52. ¿Cuál es el área de un triángulo truncado de 20 jet de lado, 6 jet de base y 4 jet en su línea de sección?

 

Problema 52 - Papiro Rhind

Problema 52 – Papiro Rhind

Ahmes lo resuelve de la siguiente manera: “Suma su base a su segmento de corte; se obtiene 10. Toma la mitad de 10, que es 5, para formar un rectángulo. Multiplica a continuación 20 veces 5 y el resultado, 100, es el área buscada”.

Si observamos la resolución se deduce que el triángulo truncado es un trapecio isósceles obtenido mediante una recta paralela a la base, a partir de la cual se construye el rectángulo. En el siguiente dibujo, no a escala, podemos verlo

Problemas 56 a 60

Pendientes, alturas y bases de pirámide. El problema 56 es importante porque contiene aspectos de trigonometría y de una cierta teoría de semejanza de triángulos.

Problema 56. ¿Cuál es el seqt de una pirámide de 250 cubits de altura y 360 cubits de lado en la base?.

El seqt es lo que hoy conocemos por pendiente de una superficie plana inclinada. En mediciones verticales se utilizaba como unidad de medida el codo  y en horizontales la mano o palmo, que equivalía a 1/7 del codo.

La resolución presentada por Ahmes es:

– Calcula 1/2 de 360 que da 180.
– Multiplica 250 hasta obtener 180, que da 1/2 + 1/5 + 1/50.
– Un cubit son 7 palmos. Multiplica ahora 7 por 1/2 + 1/5 + 1/50 que da 5 + 1/25. Luego el seqt es 5+1/25 palmos por codo

Si representamos una figura con los datos del problema:

El seqt efectivamente coincide con la cotangente del ángulo, es decir es la pendiente de las caras laterales de la pirámide.

Problema 60. ¿Cuál es el seqt de una pirámide de 15 cubits de base y 30 cubits de altura?

Este problema es resuelto de la misma forma que el anterior, pero con una salvedad; hay un error, el escriba olvidó multiplicar el resultado de dividir la mitad de la base entre la altura por 7.  El resultado que da es por tanto erróneo.

Problema 62 . Pesado de metales preciosos

Este problema es el único del papiro Rhind en el que se mencionan pesos. Una bolsa contiene el mismo peso de oro, plata y plomo. El valor total es de 84 shaty. Se da el valor por deben de cada uno de los metales, siendo el oro 12 shaty, la plata 6 shaty y el plomo 3 shaty. Se pide calcular el valor de cada metal y se resuelve asi:

Valor total = 84 shaty
Valor total para 1 deben de oro, 1 deben de plata y 1 deben de plomo = 21 shaty
Peso de cada metal = 84/21 = 4 deben
Valor del oro = 12*4 = 48 shaty
Valor de la plata = 6*4 = 24 shaty
Valor del plomo = 3*4 = 12 shaty

Problemas 61 a 68

Problema 63

Repartos proporcionales. Repartir 700 hogazas de pan entre cuatro hombres en partes proporcionales a 2/3, 1/2, 1/3 y 1/4

Como ya vimos en el capítulo 8 los cálculos para  repartos proporcionales se basan en las propiedades de las proporciones numéricas.

x/a = y/b = z/c = ( x+y+z) /(a+b+c) ) N/(a+b+c)

La solución que da Ahmes es la siguiente:

– Halla la suma 2/3 + 1/2 + 1/3 + 1/4 = 1 + 1/2 + 1/4
– Divide 1 / ( 1 + 1/2 + 1/4 )

1 1 + 1/2 + 1/4
1/2 1/2 + 1/4 + 1/8

Considerando 1/2, el resultado de la división es 1/2 + 1/4 + 1/8 con una diferencia de 1/8. Entonces ahora debe determinarse que cantidad hay que multiplicar por 1 + 1/2 + 1/4 para obtener 1/8. Toma 8 como número rojo. Entonces tenemos:

8*(1+1/2+1/4) = 14
8*1/8 = 1

por lo que la cantidad buscada es 1/14—> 1 / ( 1 + 1/2 + 1/4 ) = 1/2 + 1/14.

– Multiplica el resultado por 700

1 700
1/2 350
1/4 50

700 *(1/2 + 1/14 ) = 350 + 50 = 400, y este es el número buscado. Ahora solo queda repartir.

– Multiplica cada uno de los repartos por 400 obteniendo el resultado solicitado:

400 * 2/3 = 266 + 2/3
400 * 1/2 = 200
400 * 1/3 = 133 + 1/3
400 * 1/4 = 100

Problema 64.

Progresión aritmética. Divide 10 hekat de cebada entre 10 hombres de manera que la diferencia entre cada hombre y el siguiente sea 1/8 de hekat. ¿Qué parte le corresponde a cada hombre?

Si aplicamos la formulación actual para progresiones aritméticas tenemos que si ai son los n términos de la progresión, d la diferencia y S la suma:

 S = (a1 + an)*n/2 -> an  = S/n + (n-1) * (d/2)
Así es, exactamente, como lo resuelve Ahmes, no sabemos si por propio razonamiento lógico o aplicando una formulación conocida. Hace:

– El número de diferencias es 9, una menos que el número de hombres.
– Multiplica este número por la mitad de la diferencia (1/16). 9*1/16 = 1/2 + 1/16
– Suma este resultado al promedio de las partes 1 +1/2 + 1/16
– Para obtener las partes restantes resta sucesivamente la diferencia 1/8 a esta cantidad. Se obtiene:

1+1/2+1/16, 1+1/4+1/8+1/16, 1+1/4+1/16, 1+1/8+1/16, 1+1/16, 1/2+1/4+1/8+1/16, 1/2+1/4+1/16, 1/2+1/8+1/16, 1/2+1/16, 1/4+1/8+1/16. Si sumamos todos los términos obtenemos precisamente 10.

Problemas 69 a 78

Intercambios y proporción inversa. Aquí, aunque Gillins  establece una familia de problemas iguales, se puede hacer una subdivisión. Los 4 primeros problemas se refieren a cálculos de pesu de pan o cerveza y el resto a intercambios, en los que se emplea también el pesu.

Problema 69. 3 1/2 hekats de harina dan lugar a 80 barras. Encuentra la cantidad de harina en cada barra y el pesu.

Para resolver el problema Ahmes lo primero que hace es averiguar el número de ro in 3 1/2 hekats. En cada hekat hay 320 ro. Entonces multiplica 3 1/2 por 320

1 ——> 320
2 ——> 640
1/2 —-> 160

luego en 3 1/2 hekats habrá 1120 ro.

Ahora divide 1120 entre 80 barras

1 —–>   80
10 —–> 800
2 ——> 160
4 ——> 320

luego 1120 = 800 + 320 –> 1120/80 =   10 + 4 = 14

Tiene por tanto 14 ro por cada barra. Ahora para determinar el pesu de cada barra divide 80 entre 3 1/2.

1 ——-> 3 1/2
10 ——> 35
20 ——> 70
2 ——->  7
2/3 ——> 2 1/3
1/21 —–> 1/6
1/7 ——-> 1/2

70 + 7 + 2+ 1/3 + 1/6 + 1/2 = 80 ———> 80 / (3 1/2) = 20 + 2 + 2/3 + 1/21 + 1/7 = 22 2/3 1/7  1/21 es el pesu.

Problema 71. Este es un problema curioso sobre pesu. En una jarra de cerveza se tira 1/4 del contenido que se reemplaza por agua. Se pide averiguar el nuevo pesu de la cerveza, suponiendo que la cerveza original era el producto de medio hekat de grano.

Se resta 1/4 del original (1/2) a 1/2  1/2 – (1/4 * 1/2) = 1/4 + 1/8  hekat y ahora se divide 1 entre este resultado obteniendo un pesu de 2 + 2/3.

Este problema es importante por el uso del inverso. El escriba no apunta como se obtiene ese inverso aunque podemos hacer los cálculos según el sistema ya conocido. Debemos dividir 1/ (1/4 + 1/8)

1 ——> 1/4 + 1/8
2 ——> 1/2 + 1/4
2/3 —-> 1/6 + 1/12

de la columna derecha obtenemos 1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/12 = 1 —->  1/ (1/4 + 1/8) = 2 + 2/3

Problema 72. ¿Cuántas hogazas de pesu 45 equivalen a 100 hogazas de pesu 10?.

En este problema, que se resolvería actualmente por una simple regla de tres, Ahmes complica el proceso y aplica el siguiente criterio (lógicamente no aparece así representado en el papiro).

100/10 = x/45 = (x-100) / (45 -10) —> x = 100 + ( ( 45-10)/10) * 100
Tenemos que 100 hogazas de pesu 10 se obtienen a partir de 100/10 = 10 hekat de harina.

10 hekat de harina producirían 10×45 = 450 hogazas de pesu 45

Pero Ahmes efectúa los pasos a partir del exceso de pesu:

– Halla el exceso de 45 respecto de 10, 35
– Divide 35 entre 10 para obtener el exceso por barra

1 10
2 20
1/2 5

35/10 = 3 + 1/2 es el exceso por barra.

– Multiplica 100 por ( 3 + 1/2) = 350 total de exceso sobre las 100 barras

– Suma 100 a esta última cantidad y ese es el resultado (450)

Problema 73. Este es un típico problema de intercambio comercial. El enunciado es “100 barras de pesu 10 se intercambian por barras de pesu 15. ¿Cuántas barras de pesu 15 debe haber?”

Ahmes escribe: “Calcula la cantidad de harina en las 100 barras. Es decir divide 100 entre 10, esto nos da 10 hekats. El  número de barras de pesu 15 de 10 hekats es 150, luego este es el número de barras de pesu 15 que se deben intercambiar”.

Al tratarse de un intercambio lo que hace Ahmes es igualar en hekats. Para ello basta con calcular los hekats empleados en las 100 barras de pesu 10. 1 barra de pesu 10 significa que con 1 hekat se hacen 10 barras, luego con 10 hekats se hacen 100 barras. Para igualar el intercambio deben emplearse al menos esos mismos 10 hekats. Una barra de pesu 15 significa que por cada hekat se obtienen 15 barras, luego con 10 hekats se obtendrán 150 barras, y ese es el número.

Problema 79.

Progresiones geométricas.

Este es el único problema sobre progresiones geométricas en el Antiguo Egipto que nos es conocido, además del primer ejemplo de matemática recreativa del que se tiene noticia. Se trata de una progresión geométrica en la que el primer término es 7 y la razón también 7, pero planteado de una forma extraña. En el problema se dice ” 7 casas, 49 gatos, 343 ratones, 2401 espigas de trigo, 16807 medidas de grano”. Hay que suponer que Ahmes se refería a un problema, posiblemente ya conocido, en el que en cada casa hay 7 gatos, cada uno de los cuales se come 7 ratones, cada uno de los cuales se ha comido 7 espigas de grano, cada una de las cuales había producido 7 hekat de grano. Ahmes aquí no sólo da la cantidad de hekat de grano ahorrado sino que además da  la suma del número de casas mas gatos mas ratones mas espigas mas hekat. Realmente es difícil interpretar el objetivo del escriba con este problema, pues la suma de todos los términos no es un objetivo lógico. Lo que si parece constituir este problema es la base de la canción infantil:

Según iba a St. Ives
encontre a un hombre con 7 esposas
cada esposa tenía 7 sacos,
cada saco tenía 7 gatos,
cada gato tenía 7 gatitos
Gatitos, gatos, sacos y esposas.
¿Cuántos iban a St. Ives?

Problemas 82 a 84

Estos problemas son relativos a la alimentación de ganado y pollos. El mayor interés estriba en la información que dan sobre la cantidad de comida a cada animal bajo diferentes condiciones. El problema 82 da el ejemplo de 10 gansos que son engordados por  alimentación por fuerza y que reciben  2+1/2 hekat de harina, en pan, por día. En el 82b el coeficiente es la mitad. En el problema 83 el mismo número de pájaros, sin un tratamiento especial, deben recibir sólo 1 hekat de grano, y los pájaros enjaulados 1/4, debido a su menor actividad.

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