El papiro de Moscú

Papiro de Moscú

Papiro de Moscú

El papiro de Moscú, es junto con el de Rhind el más importante documento matemático del Antiguo Egipto. Fue comprado por Golenishchev en el año 1883, a través de Abd-el Radard, una de las personas que descubrió el escondite de momias reales de Deir el Bahari. Originalmente se le conocía como Papiro Golenishchev pero desde 1912, cuando fue a parar al Museo de Bellas Artes de Moscú (nº 4576), se conoce como Papiro de Moscú. Con 5 metros de longitud y tan sólo 8 cm de anchura consta de 25 problemas, aunque algunos se encuentran demasiado dañados para poder ser interpretados. El papiro fue escrito en hierática  en torno al 1890 a.C. (XII dinastía) por un escriba desconocido, que no era tan meticuloso como Ahmes, el escriba del papiro Rhind. Se desconoce el objetivo con el que fue escrito. En la imagen que mostramos se puede ver el original en hierática y la traducción en jeroglífico.

De los 25 problemas de que consta hay 2 que destacan sobre el resto; son los relativos al cálculo del volumen de una pirámide truncada (problema 14, que aparece en la imagen anterior), y el área de una superficie parecida a un cesto (problema 10). Este último es uno de los problemas más complicados de entender, pues no está clara la figura, y si la figura buscada fuese un cesto o un hemisferio entonces sería el primer cálculo de tal superficie conocido.

El contenido del Papiro de Moscú publicado por Richard J. Gillins en “Mathematics in the time of the pharaophs” es el siguiente:

 Problema Descripción
1-2 Ilegibles
 3 Altura de un poste de madera
4 Área de un triángulo
5 “Pesus” de barras y pan
6 Área del rectángulo
7 Área de un triángulo
8-9 “Pesus” de barras y pan
10 Área de una superficie curva
11 “Barras y cestos” (?)
12 “Pesu” de cerveza
13 “Pesu” de barras y cerveza
14 Volumen de una pirámide truncada
15-16 “Pesu” de cerveza
17 Área de triángulo
18 Mediciones en palmos y codos.
19 Ecuación lineal
20 Fracciones de Horus
21 Mezcla de pan de sacrifio
22 “Pesus” de barras y cerveza
23 Cálculo del trabajo de un zapatero. Oscuro
24 Intercambios
25 Ecuación 2x+x = 9

Los problemas que aparecen en el papiro de Moscú no están tan trabajados como los que escribió Ahmes. Una prueba de ello es el problema número 21, referente al cálculo de pan para sacrificios. En este problema el escriba dice:  “Método para calcular la mezcla de pan para sacrificios. Si te dicen 20 medidas como 1/8 de hekat y 40 medidas como 1/16 de un hekat, calcula 1/8 de 20. Resulta 2 1/2. Calcula ahora 1/16 de 40. Resulte 2 1/2. El total de ambas mitades es 5. Calcula ahora la suma de las otras mitades. El resultado es ahora 60. Divide 5 entre 60. Resulta 1/12. Entonces la mezcla es 1/12. (Si a primera vista no lo entiendes no te preocupes, pero la verdad es que es así de oscuro).

A continuación reproducimos los 2 problemas más interesantes del papiro de Moscu, el 10 y el 14.

Problema 10

En este problema se pide calcular el área de una superficie que en principio parece un cesto de diámetro 4.5. La resolución parece emplear la fórmula S = (1 – 1/9)2 (2x)*x, siendo x = 4.5. El resultado final que aparece es de 32 unidades. Si tenemos en cuenta que (1 – 1/9)2 es el valor correspondiente a /4 para  = 3 1/6 que, como hemos visto en el capítulo referente a geometría, era el valor empleado, entonces la superficie a analizar podría corresponderse perfectamente con una semiesfera de diámetro 4.5. Si esto fuese asi, tal y como se pensó en 1930, sería el primer resultado de cálculo del área de un hemisferio, anterior en 1500 años a los primeros cálculos conocidos sobre el área de una esfera. Posteriormente se sugirió que la figura que aparece representada podría ser un tejado semicilíndrico de diámetro 4.5 y longitud 4.5, cuya resolución es más lógica y sencilla que la de la esfera. En cualquier caso, tanto si se trata de un hemisferio como de un tejado semicilíndrico lo que si es cierto es que es uno de los primeros intentos de cálculo del área de una superficie curvilínea.

Problema 14

Problema 14 del Papiro de Moscú

Problema 1 del Papiro de Moscú

En este problema se pide calcular el área de la figura, que parece ser un trapecio isósceles, pero realmente se refiere a un tronco de pirámide cuadrangular. Alrededor de la figura pueden verse los signos hieráticos que definen las dimensiones. En la parte superior aparece un 2, en la inferior un 4 y dentro de la figura un 56 y un 6. Según se desarrolla el problema, parece ser que lo que se busca es calcular el volumen del tronco de pirámide cuadrangular de altura 6 y bases superior e inferior de 2 y 4. El desarrollo es el siguiente:

– Elevar al cuadrado 2 y 4
– Multplicar 2 por 4
– Sumar los resultados anteriores
– Multiplicar el resultado anterior por un tercio de 6. El resultado es 56

El escriba finaliza diciendo “Ves, es 56; lo has calculado correctamente”.

Analizando el desarrollo vemos que lo que se ha aplicado es la fórmula:

V = h(a2 + b2  + ab)/3

que por supuesto no aparece escrita en el papiro. Si consideramos ahora b=0, como se hace en el cálculo del volumen que aparece representado en Edfú, entonces se obtiene el volumen de una pirámide.

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