Las matemáticas en el antiguo Egipto – Fuentes de referencia

Ya hemos visto que la fuente más importante de la matemática egipcia se encuentra en los papiros Rhind y de Moscú, pero además de estos existen algunas más, escritos también en papiro o arcilla, que debemos destacar: el papiro Ajmin, escrito en 2 tablillas de madera y fechado en el año 400 a.C. y que actualmente se encuentra en el Museo de El Cairo, el papiro de Kahun, perteneciente a la XII dinastía y actualmente en Londres, el papiro de Berlín y el conocido como rollo de cuero. En el Museo de Bellas Artes de Boston se encuentra el papiro Reisner, encontrado en 1904 por George Reisner en las excavaciones que el propio museo financiaba en Naga-ed-Deir. El papiro se encontraba en el interior de un sarcófago de madera y está formado por 4 fragmentos que se datan en el reinado de Sesostris I. Las operaciones que refleja se refieren a cálculos de excavaciones y volúmenes de rocas y muros. Además existen inscripciones en algunos templos y monumentos entre las que destacan los relativos al templo de Edfú, aunque ya pertenecen a época griega.

El papiro de Ajmin está fechado en torno al 400 a.C., por lo que pertenece al periodo de dominación persa y por eso no lo he incluido en este artículo.

El conocido como “rollo de cuero” fue comprado por A.H. Rhind al mismo tiempo que el papiro de Ahmes. En muy mal estado, no fue analizado hasta 60 años después de su compra y es un duplicado de otra obra matemática. Dividido en 4 partes, es un trabajo sobre equivalencias de fracciones unitarias (26). No aporta conocimientos matemáticos y parece ser el cuaderno de notas de un estudiante. Reproducimos algunas de las que aparecen en el texto:

 

Primer grupo Segundo grupo Tercer grupo
1/3 + 1/ 3 = 2/3 1/9 + 1/18 = 1/6 1/4 + 1/12 = 1/3
1/6 + 1/6 = 1/3 1/12 + 1/24 = 1/8 1/5 + 1/20 = 1/4
1/10 + 1/10 = 1/5 1/15 + 1/30 = 1/10 1/10 + 1/40 = 1/8
1/6 + 1/6 + 1/6 = 1/2 1/18 + 1/36 = 1/12
1/21 + 1/42 = 1/14
1/24 + 1/48 = 1/16
1/30 + 1/60 = 1/20
1/45 + 1/90 = 1/30
1/48 + 1/96 = 1/32
1/96 + 1/192 = 1/64
1/4 + 1/12 = 1/3
1/5 + 1/20 = 1/4
1/6 + 1/30 = 1/5

 

Del papiro de Berlín debemos destacar la resolución de 2 problemas que suponen un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas, una de las cuales es además de segundo grado. Aunque los problemas son muy sencillos y de resolución directa no por eso tienen menos importancia, pues son la única prueba de intentos de resolver problemas de sistemas de ecuaciones y una demostración del empleo de raíces cuadradas.

Problema. Te dicen que el área de un cuadrado de 100 codos cuadrados es igual a la suma de la de otros 2 cuadrados más pequeños. El lado de uno de ellos es 1/2 + 1/4 del otro. Averigua los lados de los cuadrados.

Para nosotros este problema se transforma en resolver el sistema de ecuaciones:

x2 + y2 = 100
y = (1/2 + 1/4 )x

con x, y los lados de los cuadrados buscados.

Desarrollamos la solución tal y como aparece en el papiro, planteada por aproximación inicial.

Supón que uno de los cuadrados tiene lado 1 codo. El otro entonces será de 1/2 + 1/4 de codo. Las áreas son: para el primero 1 codo cuadrado y para el segundo el resultado de elevar al cuadrado 1/2 + 1/4:

 

1 1/2 1/4
1/2 1/4 1/8
1/4 1/8 1/16

 

aplicando el método de multiplicación el resultado es: 1/4 + 1/8 + 1/8 + 1/16 = 1/2 + 1/16. Entonces la suma de las 2 áreas de los cuadrados es 1 + 1/2 + 1/16 de codo. La raíz cuadrada de esta suma es 1+1/4. Como la raíz cuadrada de 100 es 10 debemos encontrar un número N tal que al multiplicarlo por 1+1/4 nos de 100. Es decir hay que dividir 100 entre 1+ 1/4.

 

1 1 1/4
2 2 1/2
4 5
8 10

El número buscado es 8. Entonces x = 8. Para calcular el otro cuadrado se multiplica 1/2 + 1/4.

 

1 8
1/2 4
1/4 2

 


Entonces el otro cuadrado tendrá un lado de 6 codos.

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