Como ya hemos visto en la introducción, las matemáticas egipcias se basaban en un sistema decimal, pero no posicional, como el nuestro, sino aditivo. Las operaciones básicas de suma y resta se limitaban a una combinación o cancelación de símbolos. La adición era la base del conocimiento matemático, puesto que las operaciones de multiplicación y división se basaban en adiciones.
Para sumar simplemente se añadían los símbolos correspondientes. Como los símbolos se podían repetir desde 1 a 9 veces, si se excedía de 9 se eliminaban todos y se añadía el siguiente. El funcionamiento es similar al ábaco. Así:
+ =
Al obtener 11 símbolos no hay más que eliminar 10 y añadir el equivalente () obteniendo:
Como se ve el sistema es bastante trivial. Para la resta sencillamente se eliminaban los símbolos a restar. Si has usado alguna vez un ábaco chino, el funcionamiento es exactamente el mismo, pero en lugar de con columnas, con símbolos.
Las operaciones de multiplicación y división se basaban en el mismo proceso aditivo. Para multiplicar se empleaba un sistema de duplicación-adición, que requiere un poco de práctica. Se basa en la propiedad de que cualquier número natural puede expresarse como una suma de potencias de 2, que quizás los egipcios ya hubiesen descubierto por métodos empíricos. Si queremos multiplicar por ejemplo n x m, el sistema es el siguiente:
– Se escribe una tabla de 2 columnas por n filas. Cada fila se obtiene por duplicación de la anterior. Si se quiere multiplicar n x m la primera fila consta del número 1 y m. La segunda se compondrá del 2 y 2*m. La tabla se construye hasta que el siguiente valor es mayor que n, entonces se puede obtener el número n como suma de todos o parte de los números de la primera columna. El resultado de la operación n x m es la suma de todos los miembros de la segunda columna o de los equivalentes a los que suman n en la primera columna. Por ejemplo para multiplicar n x m se escribirá:
| 1 | m |
| 2 | m1=2*m |
| 4 | m2=2*m1 |
| 8 | m3=2*m2 |
| .. | …….. |
| 2**i | mi=2*m(i-1) |
La tabla continúa hasta que el siguiente valor es mayor que n, es decir 2**m(i+1)> n. Una vez hecho esto se trata de descomponer el número n como suma de j-números de la primera columna, de manera que el número de sumandos sea el menor posible. Para conseguirlo se resta al valor n el último obtenido, y a este resultado el mayor posible de la tabla, y así sucesivamente hasta obtener el 0. El resultado de la multiplicación será entonces la suma de los elementos de la segunda columna equivalentes a los de la primera que suman n. Como ejemplo el papiro Rhind recomienda que para multiplicar 41 x 59 se realicen las siguientes operaciones:
1.- Se construye la tabla:
| 1 | 59 |
| 2 | 118 |
| 4 | 236 |
| 8 | 472 |
| 16 | 944 |
| 32 | 1888 |
2.- El siguiente valor 64 es mayor que 41, por lo que no se continúa con la tabla. Empieza ahora el método de sustracción. Se trata de encontrar la forma de expresar 41 como suma del menor número de sumandos de la columna 1. Para ello se resta al valor original 41 el último (32) obteniendo 9. Ahora a 9 hay que restarle el mayor posible de la columna de la izquierda, en este caso 8, obteniendo 1 y se repite la operación hasta que el resultado de 0.
41 – 32 = 9; 9 – 8 = 1; 1 – 1 = 0 -> 41 = 32 + 8 + 1 -> 41 x 59 = 1888 + 472 + 59 = 2419
Lo primero a tener en cuenta en este sistema es elegir como multiplicando el más pequeño de los 2 números a multiplicar, pues se simplifica el número de potencias de dos y por tanto el de operaciones a realizar.
Cuando se tenía que efectuar una multiplicación por 10, 100,1000,… sencillamente se desplazaban todos los símbolos una, dos, tres, … posiciones hacia la derecha según la tabla siguiente.
x =
El método empleado para la división es realmente curioso. Se basa en la multiplicación y siempre se obtenían cantidades enteras o fracciones exactas. No podemos asegurar que desconociesen totalmente el resto, pero no tenemos pruebas de divisiones en las que aparezca.
Si se quiere dividir n/m entonces la idea consiste en obtener el número de m y de partes de m que suman n. Como ya hemos comentado el sistema se basa en la multiplicación, pero ahora es el divisor el número que se duplica. Se genera una tabla de 2 columnas que tiene en la primera fila el número 1 y el denominador (m). La idea se basa en obtener en la columna de la derecha el número n con la construcción de sucesivas filas obtenidas por duplicación o división. El dividendo se obtiene, entonces, como la suma de los elementos duplicados de la columna del divisor, y el cociente es la suma de los números elegidos en la columna base de la duplicación. Por ejemplo para dividir 21 / 3 se hacía:
| 1 | 3 |
| 2 | 6 |
| 4 | 12 |
Al igual que en la multiplicación el siguiente número sería 8 y correspondería a 24 que es mayor que 21. Por tanto no se sigue con la tabla. Si el número 21 se puede obtener como suma de los valores de la columna de la derecha, entonces ya está. En este caso
12 + 6 + 3 = 21 -> 21 / 3 = 4 + 2 + 1 = 7
Este ejemplo es el más sencillo, pues la división es entera. El problema surgía cuando no se obtenían divisiones enteras y había que utilizar fracciones. Como veremos en el capítulo siguiente el uso de fracciones se basaba en la reducción a fracciones de numerador 1. Para dividir 21 / 6 se ejecutaba el mismo proceso anterior, pero cuando se obtiene un número mayor que el numerador, si este no se puede obtener como suma de valores de la columna de la derecha, se continúa la tabla, dividiendo por 2.
| 1 | 6 |
| 2 | 12 |
| 1/2 | 3 (*) |
6 + 12 + 3 = 21 -> 21/6 = 1+2+1/2 = 3.5
(*) Ahora ya no tiene sentido poner 4—>24 porque 24 > 21. Tampoco se puede obtener el valor 21 como suma de valores de la columna de la derecha; por tanto se continúa con divisiones , (1/2, 1/4,…)
Lógicamente el tema se puede complicar bastante más. ¿Qué pasa si llegamos a un punto en el que no tenemos números enteros en la columna de la derecha?. En el capítulo referente a fracciones se explica la representación y los métodos empleados para realizar operaciones aritméticas con fracciones que pueden aclarar este punto. Por ahora simplemente vamos a emplear estos métodos para realizar la división 100 /13. El problema es el número 65 del papiro Ahmes que se resuelve de la siguiente forma.
1.- Obtenemos la tabla inicial
| 1 | 13 |
| 2 | 26 |
| 4 | 52 |
| 2/3 | 8 + 2/3 |
| 1/13 | 1 |
| 1/39 | 1/3 |
2.- 13 + 26 + 52 + 8 + 2/3 + 1/3 = 100 -> 100/13 = 1 + 2 + 4 + 2/3 + 1/39
Como puede apreciarse el mayor problema lo representa la elección de los números. Si empleamos el método de la duplicación llegamos a un punto en el que no podemos continuar y aquí es donde se presenta el problema. ¿Qué número elegir? Los escribas no dejaban constancia de los procedimientos intermedios que seguían, pero debieron emplear un método para seleccionar los números. Si analizamos la resolución advertimos que el uso de 1/3 es innecesario, sin embargo el escriba lo emplea, ¿por qué?. Hemos visto que se emplean números enteros innecesarios para seguir un método, el de duplicación. El empleo de fracciones innecesarias nos lleva a pensar que efectivamente se empleaba un método para seleccionar los números, pero desgraciadamente hoy por hoy lo desconocemos.
