Las matemáticas en el antiguo Egipto – Fracciones

El uso de fracciones es sin duda el rasgo más peculiar de la matemática egipcia. El método empleado por los escribas para operar con fracciones es mucho más complicado que el nuestro. La base de la representación de una fracción se encontraba en la descomposición como suma de fracciones de numerador 1, todas distintas. En la representación de fracciones se empleaba el símbolo  (r) que en hierática se convirtió en un punto, y que significaba “parte”. Cuando se quería escribir un valor fraccionario, se representaba el símbolo anterior seguido por el valor numérico del denominador.

= 1/5  (jeroglífica)    = 1/5 (Hierática)

y tenía el sentido de un ordinal, nunca de un cardinal. Se traduciría, literalmente, como “parte 5”. Las únicas excepciones eran 1/2, 2/3, 1/4 y 3/4, que se representaban con un jeroglífico especial:  (gs) “lado”,  (rwy)  (Hsb) y  respectivamente. Así como los signos para 1/2, 2/3 y 1/4 si son frecuentes, raramente se empleó el de 3/4. En aritmética sólo se usaba la fracción 2/3, que en hierática se representaba como . Era muy frecuente el uso de las fracciones denominadas “fracciones ojo de Horus, que representaban cada una de las partes en las que fue seccionado el  ojo de Horus durante su batalla con Seth. Las cejas equivalían a 1/8, la pupila era 1/4, la parte izquierda  de la pupila 1/2, la parte derecha 1/16, la parte inferior vertical bajo el ojo 1/32 y la parte inferior diagonal del ojo representaba 1/64.

Las fracciones con numerador distinto de 1 se reducían a sumas de fracciones conocidas, con numerador 1, pero siempre los sumandos tenían que ser diferentes. Así Ahmes en el papiro Rhind escribe 2/5 como 1/3 + 1/15 y nunca se podría emplear 1/5 + 1/5. La propia expresión 2/5 no tenía sentido en el pensamiento egipcio. Cualquier cantidad se expresaba como una parte entera mas una suma de fracciones unitarias, y a lo sumo 2/3. El símbolo “+” no se empleaba y las fracciones aparecían secuencialmente. Lógicamente el problema era encontrar estas reducciones. Actualmente conocemos y podemos encontrar algoritmos de cálculo que nos permiten tales adiciones, pero hace 4000 años los escribas no conocían un método rápido para efectuar las transformaciones, por lo que se limitaban a emplear tablas ya escritas o a efectuar el proceso de división aprendido. Cuando un egipcio se encontraba con una fracción 5/8 no pensaba ¿cómo puedo transformar 5/8 en una suma de fracciones unitarias?, sino que se limitaba a dividir 5 entre 8 utilizando la técnica usual de este tipo de fracciones

El papiro Rhind incluye, al principio, una tabla en la que se expresan todas las fracciones de numerador 2 y denominador impar entre 5 y 101 como suma de fracciones unitarias. Como es lógico se eliminan las descomposiciones en las que el denominador es par. La siguiente tabla es una reproducción de la escrita por Ahmes. En la primera y tercera columna aparecen los denominadores de las fracciones 2/n  y en la segunda y cuarta las fracciones unitarias cuya suma da 2/n.

5 3,15 53 30,318,795
7 4,28 55 30,330
9 6,18 57 38,114
11 6,66 59 36,236,531
13 8,52,104 61 4,244,488,610
15 10,30 63 42,126
17 12,51,68 65 39,195
19 12,76,114 67 40,335,536
21 14,42 69 46,138
23 12,276 71 40,568,710
25 15,75 73
60,219,292,365 
27 18,54 75 50,150
29 24,58,174,232 77 44,308
31 20,124,155 79 60,237,316,790
33 22,66 81 54,162
35 30,42 83 60,332,415,498
37 24,111,296 85 51,255
39 26,78 87 58,174
41 24,246,328 89 60,356,534,890
43 42,86,129,301 91 70,130
45 30,90 93 62,186
47 30,141,470 95 60,380,570
49 28,196 97 56,679,776
51 34,102 99 66,198
101 101,202,303,606

Posiblemente la tabla escrita por Ahmes no fuese producto de métodos empíricos, sino que sigue un razonamiento lógico. No pretendemos aquí hacer un análisis de la tabla 2/n, pero sí podemos extraer algunos datos útiles, del sistema de reducción.

  • Lo primero que vemos es que todas las fracciones de la forma 2/3k están expresadas como suma de fracciones unitarias de la forma 1/2 + 1/6k.

  • El segundo grupo lo forman las fracciones de la forma 2/5k en las que la reducción es siempre 1/3k + 1/5k excepto la correspondiente a 2/95 (k= 19).

Estos dos ejemplos anteriores no son únicos, y con un poco de esfuerzo pueden sacarse más conclusiones, pero el propósito de este artículo no es analizar matemáticamente la tabla de Ahmes, aunque estos dos ejemplos nos hacen pensar que conocían ciertas relaciones matemáticas y quizás algún método para generar la tabla en el caso de números mayores. Para expresar 2/61 la tabla da el siguiente valor:

=   1/4 + 1/244 + 1/ 488 + 1/610

Ahmes reduce todas las fracciones a sumas de fracciones de numerador 1 y 2. Así  para escribir la fracción 7 divido por 29 (traducción literal del papiro) realiza las siguientes operaciones:

7/29 ; 7 = 2 + 2 +2 + 1  ; Ahmes emplea la tabla para convertir 2/29 en suma de fracciones de numerador 1. Con las sustituciones correspondientes y las posteriores adiciones obtiene:

7/29 = 1/6 + 1/24 + 1/58 + 1/87 + 1/232

Ahora bien 7/29  =  1/29 + 1/5 + 1/145 pero en la tabla sólo aparecen fracciones de numerador 2 por lo que el escriba emplea este método y no otro. No se trata de encontrar la reducción más simple sino de emplear el método que se había enseñado durante milenios y que no había razón para cambiar, pero ¿Cómo los egipcios descubrieron y elaboraron estas tablas? Actualmente no existen evidencias de que conociesen y aplicasen un método para la construcción de la tabla.

Hemos visto en el capítulo dedicado a la aritmética el procedimiento empleado en la división. Si ahora intentamos dividir 3200 entre 365 siguiendo este método de duplicidad o división por 2 llegamos a un punto en el que necesitamos el conocimiento de fracciones para poder obtener un resultado. Siguiendo el método de la división obtenemos:

1 365
2 730
4 1460
8 2920
2/3 243 1/3
1/10 36 1/2
1/2190 1/6

Entonces 3200/365 = 8 + 2/3 + 1/10 + 1/2190, puesto que 2920 + 243 + 1/3 + 36 + 1/2 + 1/6 = 3200.

Pero nos quedaría por resolver una cuestión importante. ¿Existía realmente una regla para seleccionar una u otra fracción? ¿Por qué probar con la fracción 1/10 y no con 1/4? Realmente parece que las operaciones de división se basaban en la práctica. Existía un método claro de empleo de números enteros por duplicidad (se usaban hasta que la siguiente duplicidad excedía el numerador), pero no para las pruebas de fracciones. En ningún sitio vemos una regla genérica que por ejemplo diga usa primero 2/3, luego 1/4, luego 1/6,… No, desconocemos totalmente el criterio de selección de estas fracciones unitarias. Los escribas tenían que ser unos virtuosos de la duplicación y mediación de fracciones, y, aunque en los papiros que han llegado hasta nosotros, parece que acertaban a la primera en la selección, la realidad tuvo que ser bastante diferente y para realizar una división tendrían que probar gran cantidad de fracciones. Si intentamos desarrollar la división siguiendo el método de fracciones unitarias podemos perder mucho tiempo en encontrar una combinación adecuada. Se ha propuesto como posible procedimiento intentar expresar el numerador como una suma de enteros mas fracciones unitarias que sumen 1. Es decir si necesito dividir N debo buscar una descomposición tal que N = e1 + e2 + …+ en + f1 + f2 + …fm, siendo ei enteros y fi fracciones unitarias, y tales que e1 + e2 + …+ en = N – 1 y f1 + f2 + … fm = 1, pero existen divisiones en las que no parece que se haya empleado esta norma.

Además estos métodos no nos resuelven todas las divisiones que se nos pueden plantear en la vida cotidiana, porque es obvio que los egipcios en algún momento se encontraron con los números irracionales, y en tal caso ¿qué hacían? Hemos de suponer que no siempre obtenían un resultado para la división, y en ocasiones debían aproximarlos. Quizás también aproximasen en el caso de operaciones extremadamente largas o complicadas.

¿Por qué usaban los egipcios las fracciones unitarias en sus cálculos? Realmente es difícil suponer una aritmética basada en fracciones unitarias hoy en día. Actualmente el concepto 3/5 nos es familiar, pero para los egipcios esto parecía representar un problema. Se han dado diferentes teorías para justificar el uso de este tipo de fracciones en Egipto. En matemática moderna se emplea el uso de fracciones unitarias en determinadas situaciones, y el argumento más convincente para el empleo por parte de los egipcios es la facilidad de dividir un todo en n partes. Si tenemos 3 panes y queremos dividirlos entre 5 personas, nosotros aceptamos que a cada persona le corresponde exactamente 3/5 del total, pero si aplicamos el método de fracciones unitarias a 3/5 obtenemos 3/5 = 1/3 + 1/5 + 1/15 por lo que para empezar podemos dividir un pan en tres partes iguales, los otros 2 en 5 partes y luego cada una de las 5 partes de uno de estos últimos la dividimos a su vez en 3 partes. Este concepto es más sencillo para un niño que fácilmente aprende a dividir un todo en n partes iguales y tomar una de ellas que un intento de aplicar 3/5 directamente o bien como suma de 2/5 + 1/5.

Por último damos a continuación 3 ejemplos de sumas de fracciones del papiro Rhind, extraídos del libro “Egyptian Grammar” de Sir Alan Gardiner

5 + 1/2 + 1/7 + 1/14 = 5 + 5/7
2 + 1/2 + 1/4 + 1/14 + 1/28 = 2 + 6/7
2 + 2/3 + 1/6 + 1/12 + 1/36 + 1/54 = 2 + 26/27

En la descripción de los problemas del papiro Rhind pueden verse más ejemplos de problemas con fracciones.

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