Las matemáticas en el antiguo Egipto – Operaciones con fracciones

Vamos a analizar en este capítulo los métodos de multiplicación, división y sustracción de fracciones y números expresados como suma de fracciones unitarias. Los problemas 7 al 20 del papiro Rhind se refieren a estas operaciones y pueden verse en la descripción de problemas.

La multiplicación de expresiones fraccionarias se hacía de manera directa o mediante el empleo de los “números rojos”. Estos son unos números auxiliares que aparecen de color rojo en el papiro. El método directo aparece en el problema número 9 y consiste en aplicar la propiedad distributiva del producto respecto de la suma. Para multiplicar (1/2+1/14)*(1+1/2+1/4) se multiplica cada fracción del primer multiplicando por cada una de las del segundo.

1 1/2 + 1/14
1/2 1/4 + 1/28
1/4 1/8 + 1/56

y el resultado es la suma de los resultados parciales de la columna, es decir 1.

El ejemplo anterior es uno de los más sencillos pues no hay más que aplicar las divisiones por 2, que tan bien manejaban los egipcios y los resultados parciales constan de fracciones sencillas.

El método de los números rojos es algo más complicado. Consiste en aplicar un número auxiliar (el número rojo) a cada una de las fracciones de la columna derecha cuando en esta se obtienen resultados no sencillos. Aparece por ejemplo en el problema 14 en el que el escriba propone calcular 1/28 * (1+ 1/2 + 1/4). Este es el procedimiento seguido: Se aplica el método normal obteniendo:

1 1/28
1/2 1/56
1/4 1/112

Ahora en lugar de sumar las fracciones de la derecha, siguiendo el método aprendido, se selecciona un número tal que al aplicarlo a estas se obtengan otras más sencillas. En este caso se selecciona el 28 y el razonamiento es el siguiente:

1/28 partes de 28 es igual a 1
1/56 partes de 28 es igual a 1/2
1/112 partes de 28 es igual a 1/4

y hay que conseguir saber cuántas partes de 28 son iguales a 1+1/2+1/4, esto es ¿cuál es el número por el que hay que multiplicar 1+1/2+1/4 para obtener 28? Es decir hay que dividir 28 entre 1+1/2+1/4. Se hace, entonces, la siguiente tabla (hemos reproducido la notación egipcia, eliminando el signo + de la columna de la derecha)

1 1 1/2 1/4
2 3 1/2
4 7
8 14
16 28

 

y el resultado es 16 —>  1/16 partes de 28 es precisamente 1+1/2+1/4.

Para una mentalidad actual el método de los números rojos puede parecer una forma absurda de complicarse la vida, pero hay que tener en cuenta que, aunque los egipcios controlaban las fracciones, una expresión como la obtenida en el primer ejemplo sí era fácil, pero una del tipo 1/28 1/56 1/112 no era manejable, mientras que el concepto de 1/16 si podían controlarlo.

La resta de fracciones está explicada con ejemplos en los problemas 21 a 23 del papiro Rhind, y en todos se emplean los “números rojos”. Para hacer la operación 1 – (2/3 + 1 /30) se siguen los siguientes pasos:

– Se elige como número auxiliar el 30
– 2/3 + 1/30 partes de 30 es 21
– 30 > 21 en 9 unidades -> Hay que obtener cuantas partes de 30 dan 9.

1 30
1/10 3
1/5 6

como 6+3 = 9 ->  la respuesta es 1/5 + 1/10.

Lógicamente esta es la “teoría”, pero los cálculos pueden complicarse enormemente siguiendo este método. En el capítulo dedicado a los problemas del papiro Rhind puedes ver ejemplos más complejos del método.

La división de fracciones aparece en los problemas 30 a 34 del papiro Rhind. En todos los problemas el escriba hace uso de los números rojos. No son problemas directos de divisiones, sino problemas en los que hay que aplicar estas divisiones. Si queremos dividir N/D siendo D una fracción, el método consiste en efectuar las duplicaciones sucesivas del denominador hasta que la siguiente duplicidad exceda el numerador, como en el proceso de división de números enteros. Se selecciona la mejor aproximación al numerador como suma de los valores obtenidos en la columna de la derecha, que llamaremos C. Se calcula la diferencia que resta (N-C) y ahora se trata de saber cuantas partes de D son iguales a C, que llamaremos F. El resultado final será la suma de las cantidades de la columna de la izquierda mas este valor F.

Por ejemplo en el problema 30 hay que dividir 10 / (2/3 + 1/10). En este caso N = 10, D =  2/3 + 1/10

Para obtener el resultado se hace lo siguiente:

1 2/3 + 1/10
2 1 + 1/3 + 1/5
4 3 + 1/15
8 6 + 1/10 + 1/30

Si ahora sumamos los valores de la columna derecha para 1, 4 y 8 obtendremos

2/3 + 1/10 + 3 + 1/15 + 6 + 1/10 + 1/30 = 9 + 2/3 + 1/5 + 1/15 + 1/30 -> C = N – 9 + 2/3 + 1/5 + 1/15 + 1/30 -> C = 1/30

Hay que ver ahora cuántas partes de D son iguales a C, es decir cuántas partes de 2/3 + 1/10 son iguales a 1/30

Se selecciona ahora el número rojo 30 y hacemos el proceso anterior:

2/3 + 1/10 de 30 es 23 y 1/30 de 30 es 1-> 1/23 partes de 2/3 + 1/10 es igual a 1/30. -> F = 1/23

El resultado de la división será por tanto 8 + 4 + 1 + 1/23 = 13 + 1/23

Como en ejemplos anteriores en este caso hemos llegado a esta conclusión directamente para no reproducir todos los pasos necesarios, pero el escriba que quisiese hacer este problema aplicando los métodos que conocía hasta ese momento debía realizar gran cantidad de operaciones de multiplicaciones y restas de fracciones antes de obtener el resultado final.

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