Las matemáticas en el antiguo Egipto – Repartos proporcionales, regla de tres y progresiones

Además de los problemas sobre aritmética básica y ecuaciones lineales, existe una serie de problemas referidos a repartos proporcionales, progresiones aritméticas y aplicación de la regla de tres.

El método para resolver repartos proporcionales está basado en las propiedades de las proporciones numéricas. Estos cálculos eran muy importantes a la hora de distribuir las raciones, por ejemplo, en los templos, donde no todo el mundo recibía la misma cantidad de comida y bebida.

Para repartir una cantidad C en partes proporcionales a 3 números n1, n2 y n3, si x1, x2 y x3 expresan cada una de esas partes proporcionales entonces:

x1/n1 = x2/n2 = x3/n3 = (x1+x2+x3 / (n1 + n2 +n3) = C / (n1 +n2 +n3)

El papiro sigue este mismo método. Para distribuir una cantidad N en partes proporcionales n1, n2 ,n3 y n4:

1.- Se suman las partes proporcionales n1+n2+n3+n4 obteniendo C
2.- Se divide 1 / C = D
3.- Se multiplica este valor D por N obteniendo el numero d
4.- Se aplica el número d a cada una de las partes

El ejemplo siguiente corresponde al problema número 63 de Ahmes. En el capítulo dedicado al papiro Rhind se da una explicación más detallada de las operaciones. En él hay que repartir 700 hogazas de pan entre cuatro hombres en partes proporcionales a 2/3, 1/2, 1/3 y 1/4.

1.- Se calcula la suma C

C = 2/3 + 1/2 + 1/3 + 1/4 = 1 + 1/2 + 1/4

2.- Se calcula D = 1/C

1 1 + 1/2 + 1/4
1/2 1/2 + 1/4 + 1/8

D = 1/C = 1 / ( 1 + 1/2 + 1/4) = 1/2 + 1/14.

3.- Se multiplica este resultado por 700 y resulta un valor de d = 400, por lo que el reparto será:
4.- Se aplica d a cada fracción

2/3 de 400 = 266 + 2/3
1/2 de 400 = 200
1/3 de 400 = 133 + 1/3
1/4 de 400 = 100

La regla de 3 aparece en el problema 72 del papiro Ahmes. Los egipcios no encontraban diferencia entre la aplicación de este método para la resolución de problemas y la aritmética. Empleaban el procedimiento cuando los problemas se presentaban de forma similar a prácticas que habían realizado, pero posiblemente el concepto de regla de 3 se les escapase totalmente.

Como veremos en el capítulo dedicado a la resolución de los problemas, Ahmes se hace un pequeño lío en la búsqueda de la solución de la regla de 3. Para calcular la siguiente regla de 3

n1 – v1
x  –  v2

Ahmes hace lo siguiente.

1.- Halla el exceso de n1 respecto de v1, obteniendo un valor e1.
2.- divide ahora e1 entre v1 y obtiene e2
3.- multiplica e2 por v2 (e3)
4.- suma v2 + e3 y esa es la solución.

Realmente está aplicando el siguiente criterio v2/v1 = x/n1 = (x – v2)/ (n1 – v1) – > x = v2 + ( (n1 – v1)/v1) * v2

El problema 72, que es una regla de 3 con n1 = 45 , v1 = 10, v2 = 100, lo resuelve como

1.- El exceso de 45 respecto de 10 es 35
2.- 35 / 10 = 3 + 1/2
3.- 100 * ( 3+ 1/2) = 350
4.- Solución = 350 + 100 = 450

Las progresiones aritméticas aparecen reflejadas en el problema 64 del papiro. No sabemos si la resolución responde a la aplicación de una fórmula o simplemente a planteamientos lógicos, pero como puede verse en el capítulo dedicado al papiro Rhind el escriba sigue perfectamente el método que emplearíamos actualmente para resolver el problema.

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