7. EL ÁLGEBRA

En los papiros que se conservan con problemas matemáticos existe un grupo que podríamos incluir dentro del concepto de álgebra actual. El egipcio no distinguía entre problemas meramente aritméticos y estos en los que se pide resolver ecuaciones lineales de la forma x + ax = b o x + ax + bx = c. Para él todo eran matemáticas y se limitaba a seguir procedimientos aritméticos. Por supuesto no se empleaba esta notación que usamos nosotros sino que se pedía por ejemplo buscar un número, que ellos llamaban "aha" o "montón" tal que ... El problema más conocido del papiro Rhind sobre estas cuestiones es el número 24 en el que se pide calcular el valor del aha si el aha y una séptima parte del aha es 19. Este tipo de problemas aparecen resueltos con unas someras instrucciones que llevan al resultado buscado, sin dar ninguna explicación sobre por qué usar el procedimiento.

La resolución de estos problemas se efectúa por el método que hoy conocemos como "regla de la falsa posición" o "regula falsi". Este método consiste en presuponer un valor para el aha y efectuar las operaciones de la ecuación. A menos que tengas mucha suerte no acertarás con el valor del aha a la primera, pero tampoco importa, porque una vez efectuadas las operaciones se compara el resultado con el que debería obtenerse y con el uso de proporciones se halla el valor correcto.

Por ejemplo en el problema 24 hay que resolver la ecuación x + x/7 = 19.

Se supone un valor x = 7 (el más fácil de aplicar) -->  x + x/7 = 8. Ahora basta con calcular un número n tal que 19 = 8*n, y el valor buscado será x=7*n. Se divide 19/8. Efectuando las operaciones de división obtenemos:
 

16 + 2 + 1 = 19 -> 19/8 = 2 + 1/4 + 1/8 -> n = 2 + 1/4 + 1/8 - > x = 7 * n ---> x = 7 * (2 + 1/4 + 1/8).  Ahora se efectúa la multiplicación:
 

luego x = 16 + 1/2 + 1/8

Visto el empleo de este procedimiento podemos apreciar que los problemas de división de cantidades fraccionarias podrían resolverse también siguiendo este mismo método, bastante más simple, en la mayoría de los casos. Pero no sabemos por qué se elegía uno u otro, ni si el escriba lo hacía dependiendo de algún factor.

A pesar de que este es el método más empleado en la resolución de ecuaciones lineales, Ahmes emplea un método de factorización en el problema 30, en el que hay que resolver la ecuación:

x + (2/3)x + (1/2)x + (1/7)x = 37

Para resolverla factoriza el primer miembro y divide luego 37 entre ( 1 + 2/3 + 1/2 + 1/7) obteniendo un valor de x = 16 + 1/56 + 1/679 + 1/776.

Los problemas de ecuaciones lineales son frecuentes en la matemática egipcia y aparecen en varios papiros, pero llaman la atención especialmente dos problemas del  papiro de Berlín que representan un sistema de 2 ecuaciones con dos incógnitas, una de las cuales es además de segundo grado. Estos problemas son los más sencillos, del tipo ax²=b o incluso en el de dos incógnitas una de ellas se da en función de la otra, con lo que el problema queda reducido igualmente a uno del tipo ax²=b. Curiosamente se utiliza la raíz cuadrada para resolver el problema, aunque no tenemos constancia de si tenían procedimientos para calcularlas. Algunos autores suponen que debieron existir tablas de números cuadrados, calculadas por un simple procedimiento de multiplicación del número por él mismo, y que podrían leerse en ambos sentidos de modo que permitirían calcular raíces cuadradas. Lo que sí sabemos es que existía un símbolo especial para representarla ( ) conocido como 'la esquina'. El problema al que antes nos hemos referido consiste en resolver:

x² + y²  = 100
y = (1/2 + 1/4)x

En el Apéndice III damos la solución tal y como aparece en el papiro.

Francisco López