9. GEOMETRÍA. Cálculo de áreas

La geometría es quizás la aplicación más importante de la matemática egipcia, debido a la necesidad de los agrimensores o "tensadores de cuerda", como los llamó Heródoto, para recalcular las lindes de los campos tras la inundación anual del Nilo. Después de ver las grandes construcciones que llevaron a cabo los egipcios deberíamos esperar una geometría muy avanzada. Pero desgraciadamente no es así, y las únicas fuentes que podemos analizar son el papiro Ahmes y el papiro de Moscú. Con los datos que tenemos en estos 2 papiros no descubrimos aspectos especiales de la geometría y lo único que nos aportan son algunos datos para el  cálculo de áreas y volúmenes de figuras geométricas muy básicas. Los cálculos, aunque no correctos, si son lo suficientemente aproximados para cubrir las necesidades de la vida cotidiana. Además no existe distinción entre los cálculos exactos y los aproximados por lo que no sabemos si pensar que consideraban todos como exactos o sencillamente que no se planteaban el error cometido. Como veremos en el artículo algunos de estos errores son realmente importantes, pero quizá fuese el hecho de haber aprendido cómo hacer los cálculos, sin demostración de ningún tipo y sin plantearse si estaban bien o mal, lo que les llevaba a cometer estos errores.

En primer lugar hay que tener en cuenta que hasta la llegada de los griegos, al igual que en Babilonia, no existía una división entre la geometría y la aritmética, o la matemática en general, y todas las ramas se englobaban dentro de una misma, limitándose a aplicar la aritmética al cálculo de áreas, volúmenes y algún otro problema geométrico. A pesar de que, según Heródoto, la geometría se desarrolló ante la necesidad de recalcular las lindes tras la inundación del Nilo, no parece que sea así. Indudablemente ésta era una de las aplicaciones más importantes pero desde luego no la única. Los babilonios por ejemplo tenían una geometría muy similar a la desarrollada en Egipto y sin embargo no tenían esa necesidad de agrimensura.

Llama la atención el hecho de haber encontrado inscripciones en las que se calcula el área de figuras cuadrangulares, pertenecientes a campos de cultivo, en las que el método empleado es muy erróneo, y únicamente aproximado en el caso de campos que se tienden a formas rectangulares. En los muros del templo de Edfú aparece este método, que consistía en obtener el área de la figura multiplicando entre sí las semisumas de las longitudes de lados opuestos. Se dice que para calcular el área de un campo de lados a, b, c y d siendo a, b y c,d los lados opuestos se siga la regla

A = (a+b)/2 * (c+d)/2

Lógicamente esta fórmula es exacta para figuras rectangulares, pero cuanto más irregular sea la figura más error se comete. Incluso se utiliza para campos triangulares, en los que se afirma que debe tomarse el lado "d" como "nada". Como puede apreciarse no se puede afirmar que tuviesen una geometría muy avanzada pues todo se basa en aproximaciones muy groseras a las fórmulas reales.

En el papiro Ahmes vemos que el cálculo de áreas tendía a emplear la conversión de la figura a analizar en "algo parecido a una figura conocida" que permita llegar al área buscada. Un sistema de cálculos parciales cuya suma permita obtener el área de la figura inicial. Veremos este método en el cálculo del área del círculo. Es quizá un primer paso hacia la demostración geométrica y un intento de encontrar las relaciones mutuas entre figuras geométricas, pero que se quedó ahí, en un primer paso, y al que nunca se le ha dado la importancia que tiene. Por este método se justifica el cálculo del área de un triángulo isósceles. Según Ahmes debe dividirse la mitad de la base y multiplicar el resultado por la altura. Como es lógico el escriba no emplea los términos base, altura o isósceles para expresarse, pero por la figura y la explicación que da debemos pensar que se trata de un triángulo isósceles. Ahmes justifica este cálculo afirmando que puede considerarse el triángulo formado por 2 triángulos rectángulos, de manera que el desplazamiento de uno de ellos da lugar a un rectángulo con lados de la misma longitud que el triángulo de partida. Curiosamente Ahmes describe el triángulo como "un pedazo de tierra de una cierta anchura en un extremo y que llega a un punto". Realmente resulta difícil que con una definición así se pueda determinar el área de la figura. Cuando Ahmes habla de altura no emplea más que un término genérico llamado "línea", afirmando que debe multiplicarse la base por la "línea". No tenemos claro si el escriba quería referirse, con este término, a la altura del triángulo o a un lado, aunque, por los cálculos que aparecen en otros problemas, parece más bien este último caso. Pero hay que plantearse qué se podía considerar base y qué lado. El error es grande si consideramos un triángulo isósceles, pero en el caso de triángulos con todos los lados diferentes ¿qué hacía el escriba?

El problema 52 del mismo papiro trata sobre el área de un trapecio isósceles de base mayor 6, base menor 4 y distancia 20. Para resolverlo toma la semisuma de las bases "de forma que se transforme en un rectángulo" y lo multiplica por la distancia 20.

Es quizá el cálculo del área del círculo la parte de la geometría egipcia de la que más se ha escrito, sin duda por el misterio que rodea al número pi. Según el papiro Rhind  (problema número 50) Ahmes acepta que el área de un círculo de diámetro 9 es la misma que la de un cuadrado de lado 8. Esto nos lleva a aceptar un valor para  de 3.1605 (4(8/9)**2). Esta es una muy buena aproximación del valor real de 3.1415926..., que siempre ha llamado la atención. Se ha dicho que los egipcios conocían el valor de , pero lo cierto es que aunque la aproximación no es mala, es un valor calculado en base a una geometría muy básica. Además hay que tener en cuenta que los egipcios no empleaban pi como una constante. No sabemos cómo se llegó a esta aproximación, pero se ha considerado que el problema 48 del mismo papiro puede ser la respuesta. En este vemos que Ahmes construye un octógono a partir del cuadrado de lado 9 unidades, dividiendo cada lado en 3 partes y uniendo las esquinas, es decir anulando los 4 triángulos formados en las esquinas. Entonces el área del octógono es aproximada al área del círculo de diámetro 9. En el Apéndice I damos una explicación más detallada de la resolución de este problema.

Posiblemente mayor importancia que la buena aproximación de  tenga la afirmación egipcia de las relaciones entre área y perímetro del círculo y el cuadrado. Según los egipcios la relación entre el área de un círculo y su circunferencia es la misma que la razón entre el área y el perímetro del cuadrado circunscrito. Sin duda esta afirmación es mucho más importante geométricamente hablando que la aproximación de , si bien es cierto que muchos autores han destacado esta aproximación de  para afirmar que los egipcios conocían una matemática "oculta" mucho más desarrollada que la que actualmente aceptamos de las escasa fuentes que poseemos. En muchas ocasiones se ha tratado de crear leyendas en torno a las relaciones geométricas de la gran pirámide. Quizá la más llamativa y conocida es la que afirma que el perímetro de la base se planeó de manera que coincidiese con la circunferencia cuyo radio es la altura de la pirámide. Esta relación es efectivamente cierta, con una muy buena aproximación, para un valor de  de 3.14, pues la razón del perímetro a la altura es de 44/7 = 2*22/7, que nos da un valor para  de 3.14 y no el valor 3.16 que sabemos que empleaban, aunque esta ultima afirmación tampoco podemos tomarla al pie de la letra puesto que no parece que empleasen como una constante y posiblemente el propio concepto y su relación con el círculo les era totalmente desconocido, ya que no lo aplicaban por ejemplo al calcular el volumen de un cilindro.

También disponemos de información de las reglas empleadas para el cálculo de volúmenes del cubo, paralepípedo, cilindro y figuras sencillas. En algunos casos estos métodos conducen a aproximaciones, pero en otros los cálculos son correctos. Los papiros dan como fórmula para calcular el volumen de un tronco de cono de altura h y circunferencias D y d:

V =  h/12 [ 3/2 (D+d)] ** 2

Lógicamente no existe en los papiros una formulación así, sino que se explica con un ejemplo en el que se dice "Divide 18 entre 12, suma 7 y 4 .... ). Este método supone emplear un valor de  de 3, frente al 3.1605 que vimos empleaban en el cálculo de áreas, lo cual supone un error considerable que nos lleva a pensar en el empleo de métodos empíricos para llegar a tales conclusiones, puesto que lo que sí podemos afirmar es que no se empleaba pi como constante, por lo que hemos de deducir que tampoco se conocía su relación con el perímetro o el área del círculo.

Sin duda alguna la regla más importante, por su precisión, es la referida al cálculo del volumen de un tronco de pirámide de base cuadrada. El problema es el número 14 del papiro de Moscú. La fórmula, como es de suponer, no aparece en el papiro, pero se calcula el volumen exacto. Si empleamos una notación moderna la fórmula es la siguiente:

h = altura
a, b  = lados

entonces tenemos :

V = h/3 ( a**2 + b**2 +ab)

Según el papiro de Moscú el volumen de un tronco de pirámide de bases 4 y 2 y altura 6 es 56. Lo curioso es que el escriba resuelve el problema aplicando los pasos que nos llevan a la fórmula anterior. Para ver la resolución exacta que da, consulta el capítulo dedicado al papiro de Moscú. Si se considera b=0 se obtiene la fórmula para calcular el volumen de una pirámide, tal y como aparece representada en el contrato de Edfú. No se sabe cómo pudieron llegar a estos resultados, se ha  afirmado que podría tener su origen en métodos experimentales, pero desde luego no es un método que resulte fácil. Para el cálculo del volumen del tronco parece más viable que descompusieran, al menos mentalmente, el tronco en figuras más sencillas como paralepípedos, prismas o pirámides, que a su vez se descomponen en bloques rectangulares que podrían llevar a la fórmula, pero ciertamente no hay nada que lo demuestre y tampoco parece que el uso de una geometría basada en descomposiciones de figuras más sencillas prosperase en Egipto, y la única prueba está reflejada en los cálculos de áreas de ciertos triángulos y trapecios, como ya hemos visto.

Francisco López